Matematyczne struny i kwanty
Jeżeli w towarzystwie ktoś zaczyna poruszać sprawę TEORII STRUN, to zapada cisza. Nazwa jest dźwięczna, a opowiadający na wejściu otrzymuje premię, że w ogóle coś o tym może powiedzieć. To jednak mocno zagmatwana sprawa. Ale można ją barbarzyńsko uprościć i przedstawić w wersji dyletanckiej. Ale lepsza taka niż żadna. Dyletantom także należy się krzta zrozumienia świata…
Ta opowiastka o teorii strun ma także suspens. Zacząć należy od tego, że od początku XX wieku próbuje się POŁĄCZYĆ dwie wielkie teorie fizyczne, które odkryto na początku XX wieku. Chodzi o TEORIE WZGLĘDNOŚCI Alberta Einsteina i TEORIĘ KWANTOWĄ, odkrytą przez wielu fizyków.
Teoria względności odnosi się do skali MAKRO, a teoria kwantowa do skali MIKRO – cząstek elementarnych. Te dwie teorie są NIEKOMPATYBILNE, czyli prosto: nie widzą się. Fizycy uznali, że jak uda się je połączyć, to powstanie teoria GRAWITACJI KWANTOWEJ. Ukuto nawet określnie, że będzie to TEORIA WSZYSTKIEGO, ale to zbyt duży optymizm. Kto to odkryje otrzyma Nobla, a może od razu kilka Nobli. Wyścig odkrywców trwa od dziesiątków lat.
Teoria strun miała służyć za taką, która łączy teorię grawitacji z mechaniką kwantową. Taka jest geneza tego bardzo ambitnego projektu. W 1968 włoski fizyk teoretyczny Gabriele Veneziano wymyślił WZÓR, który jest podstawą teorii strun. Użyto zatem wzoru Veneziano do grawitacji i taką drogą próbowano wyprowadzić równania Einsteina – RÓWNANIA POLA TENSOROWEGO. Była to duża sprawa, a nawet sensacja.
Te wzory teorii strun to mocna, skomplikowana matematyka. Analizując zachowanie się cząstek odkryto, że jest pewna prawidłowość, którą można opisać matematycznie, czyli znaleźć FUNKCJE. Ta funkcja była już odkryta przez znanego matematyka Leonharda Eulera w XVIII wieku, ale tutaj pasowała dobrze do oddziaływania wzajemnego cząstek elementarnych. Mocna sprawa.
Odkryta i pasująca funkcja wykazała własność DRGANIA, jakby strun. One miały postać takich malutkich pręcików. To one są budulcem materii. Te struny mają wielkość 10-31 metra, są o wiele mniejsze niż jądra atomowe. Te pręciki, które się jakby sklejają, co wynika z charakteru oddziaływania pomiędzy kwarkami w jądrach atomowych. Za to odpowiadają oddziaływania SILNE działające w mikroświecie. Zasięg takich oddziaływań to 10-15 metra, to dzieję się na poziomie struktur jąder atomowych. Ich nośnikiem są bezmasowe gluony funkcjonujące pomiędzy kwarkami.
Oddziaływania silne realizują się dość zaskakująco, ponieważ im dalej od siebie są kwarki, tym silniejsze jest oddziaływanie, oczywiście do ograniczonej odległości. To wbrew intuicji rozumienia oddziaływań w makroświecie. Stąd pojawiła się analogia z pręcikami albo strunami, przypominające dipole. Jeżeli oddala się od siebie kwark i antykwark, to dostarcza energii strunie.
Od tej odkrytej właściwości teoria wzięła nazwę, jako TEORIA STRUN, potem SUPERSTRUN. W latach 70-tych analizowano ciągle wyliczenia i badaczom wyszło, że jest w tych wyprowadzeniach wewnętrzny błąd – ANOMALIA. Teoria strun jakby upadła. W 1984 okazało się jednak, że błędu nie ma.
Z biegiem czasu powstawały nowe warianty teorii strun. Wszystkie jednak miały wspólny mianownik, który nazwano TEORIĄ SUPERSTRUN. Jej podstawą jest zasada potrójnych ILOCZYNÓW do ósmej potęgi, odkryta przez Carla Jacobiego z XIX wieku. To brzmi dość i nieprzyjaźnie i bardzo matematycznie.
Teoria strun ma 10 WYMIARÓW: 4 znane wymiary z czasem i 6 małych. Prezentuje się zagadkowo, ale dyletanci na tym muszą poprzestać. Zapamiętać warto tylko: struny-pręciki i 10 wymiarów.
Czy odkryto zatem połączenie teorii względności z teorią kwantową w postaci teorii strun-superstrun? Nie wiadomo, czy ona łączy teorie kwantową i teorię Einsteina. Brakuje jednak adekwatnej matematyki. Poza tym, podobno niedopuszczalnie upraszcza DOSKONAŁĄ SYMETRIĘ teorii Einsteina.
Tak wygląda teoria strun w dyletanckiej pigułce. To krzepiące, że fizycy chcą wyjaśniać rzeczywistość, chcą odkryć teorie grawitacji kwantowej. Ale jak ona miałaby wyglądać?
Jeżeli wedle mechaniki kwantowej cząstka elementarna jest w wielu miejscach JEDNOCZEŚNIE, to zakrzywienie czasoprzestrzeni, wedle teorii względności, byłoby również w wielu miejscach naraz? To zakrawałoby na kwantowo względny … horror.
W teorii strun jest wiele matematyki. Ale i w mechanice kwantowej matematyka odgrywa znaczną rolę. Biegli w tym temacie twierdzą, że jest to „tylko”: algebra liniowa, liczby zespolone i rachunek prawdopodobieństwa. To podobno łączy się w spójną całość.
Algebra liniowa to przekształcenia przestrzeni złożonych ze zbiorów i działań, do tego dochodzą jeszcze macierze. To niby ma być proste, bo w końcu jest „liniowe”. Jest proste, jak skończy się rozszerzony kurs matematyki wyższej.
Z liczbami zespolonymi nie jest łatwiej. Trzeba tutaj przyjąć i najlepiej zrozumieć 2 byty. Pierwszy, to liczby rzeczywiste. Warto przypomnieć, że liczby rzeczywiste, to te, które mają po przecinku nieskończony ciąg liczb. Wydaje się, że dzięki takim liczbom można wyrazić CIĄGLOŚĆ. Ale nie sposób jej jednak wyrazić. To może zastanawiać, ale istnieje takie równanie, które nie ma rozwiązania przy zastosowaniu liczb rzeczywistych.
Jest równanie: X2 + 1 = 0. Jak go rozwiązać? Jak sobie wyobrazić liczbę, która podniesiona do kwadratu da -1? Tak, podniesienie do kwadratu może dać liczbę ujemną, na przykład -1. To rozwiązanie równania. Sprowadzając to do geometrii, to nie ma sensu, ponieważ odległości musiałaby być liczbami ujemnymi i zakrawa to o bzdurę.
To oznacza jednak, że istnieją jakieś inne liczby niż rzeczywiste. Takie liczby odkryto kilkaset lat temu, ale nie wiedziano wtedy, do czego mogą służyć. Już w XVI wieku wiedziano i ich istnieniu, uczynił to Girolamo Cardano.
Aby taką liczbę sobie wyobrazić i zapisać, konieczne jest wprowadzenie kolejnego składnika: JEDNOSTKI UROJONEJ. To stara metoda dla rozwiązywania nierozwiązywalnych równań. Pierwiastek z -1 to jednostka urojona i. To taki matematyczny obiekt, ale właśnie dzięki niemu powstają liczby zespolone.
One rozszerzają zestaw liczb rzeczywistych. I to dzięki nim można w pełni wyrażać ciągłość. To sztubackie wyjaśnienie, ale trudno jest wyjaśnić obrazowo i metaforycznie ciągłość. W takiej przestrzeni nie istnieją luki między liczbami, jedna liczba wchodzi w drugą. Lepiej można to opisać tak, że jeżeli liczby rzeczywiste znajdują się na osi i wypełniają ją szczelnie, to liczby zespolone wymagają drugiej osi – pionowej. Te dwie osie tworzą już nie dwie osie, a PŁASZCZYZNĘ ZESPOLONĄ.
Nawiasem, te liczby znał sam wielki Kartezjusz, ale uznał je za kompletny nonsens, podobnie także traktował także liczby ujemne. Niby one są, ale są takim ubocznym „odpadem” matematycznym. Wielkim też zdarza się mylić…
Okazało się, że te liczby – LICZBY ZESPOLONE - są doskonale przydatne w rachunku prawdopodobieństwa używanego w mechanice kwantowej. One są ważne, ale nie wiadomo dlaczego. To niesamowite. Podobnie jest z liczbami pierwszymi, ale to już inna historia. Coś ma istotne znaczenie i można tego doświadczyć, ale nie wiadomo dlaczego ma znaczenie. Trzeba to przyjmować bez protestu. Tak jest i tyle.
Liczba zespolona ma zatem jednostkę - liczbę urojoną - która pasuje jak ulał do rachunków mechaniki kwantowej, ściślej do rachunku prawdopodobieństwa. Ale i ten rachunek jest inaczej trzeba rozumieć, niż ten używany powszechnie do szacowania ryzyka i statystycznych obliczeń. Trzeba zacząć od początku…
W XX wieku rosyjski matematyk Andriej Kołmogorow stworzył spójną teorię matematyczną dla rachunku prawdopodobieństwa. Sformułował 3 AKSJOMATY. Pierwszy zakłada, że prawdopodobieństwo nie jest liczba ujemną. Drugi, że nie jest liczba większą niż 1. Trzeci z aksjomatów mówi, że prawdopodobieństwa zdarzeń wykluczających się DODAJE się. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie kostką, wypadnie liczba parzysta? To jest 50%. Wypaść mogą bowiem 3 liczby: 2, 4, i 6. Te 50% wynika z dodania tych 3 prawdopodobieństw. To proste, ale okazuje się, że natura w skali atomowej, kwantowej nie uznaje tego aksjomatu. Po prostu on nie zachodzi. Dodawanie prawdopodobieństw daje błędne wyniki. Dzieje się inaczej! To kompletnie zaskakuje. Aby rozwiązać te sprzeczności należy zaniechać rachunki i aksjomaty Kołmogorowa.
Receptą okazało się wprowadzenie nowego pojęcia – AMPLITUDY prawdopodobieństwa. Do tego potrzebne są liczby zespolone, bo amplituda prawdopodobieństwa jest właśnie liczbą zespoloną. Prawdopodobieństwo jest kwadratem tej amplitudy. To nowa teoria i wreszcie poprawna teoria probabilistyczna. Umożliwia obliczanie prawdopodobieństwa zjawisk w skali kwantowej.
To ma także konsekwencje. W takich obliczeniach pojawia się nowy matematyczny składnik, który może być dodatni albo ujemny. To tworzy nową jakość. Okazuje się bowiem, że niektórych zjawiskach kwantowych prawdopodobieństwo może być znacznie większe niż liczone klasycznie, według rachunku Kołmogorowa, który znany jest powszechnie. Dlatego właśnie mechanika kwantowa wydaje się paradoksalna, umyka intuicji opartej o klasyczne prawdopodobieństwo. No bo jakże coś może być w dwóch miejscach naraz? Czy jednocześnie może wypaść 2 i 4 przy rzucie kostką?
Szukając matematycznego rozwiązania dla mechaniki kwantowej stworzono nową teorie prawdopodobieństwa. Ona nijak nie pasuje do człowieczej intuicji. Teraz na nowo trzeba podejść do paradoksu kota Erwina Schrödingera.
Tak matematyka służy, ale i płata figle, komplikuje ludzkie intuicje i wyobrażenia.
Życie dyletanta jest jednak spokojniejsze…
