wczytywanie strony...
Instytut Karpacki Baner Innowacyjna edukacja

Nieskończoność matematyczna

Nieskończoność to dość abstrakcyjna sprawa. Nie jest ona kategorią intuicyjną. Tak też jest z nieskończonością w matematyce. Od zrozumienia matematycznego wymiaru nieskończoności można dopiero przejść do rozumienia nieskończoności w fizyce.

Teorii ZBIORÓW uczy się dzieci na wczesnym etapie edukacji. Posługując się zbiorami, można najprościej wyjaśnić nieskończoność. Potrzebna jest typologia zbiorów, która powstaje na podstawie kryterium atrybutów skończoności i nieskończoności.

Istnieją DWA TYPY zbiorów. Jedne są skończone, a drugie nieskończone. Skończony zbiór ma określoną liczbę elementów. To dość prosta sprawa. Warto zająć się zbiorami nieskończonymi i zrozumieć ich naturę.

Jeżeli ze zbioru nieskończonego usuniemy jego dowolną część, to co zostanie jest nadal w JEDNO-JEDNOZNACZNEJ ODPOWIEDNIOŚCI z wyjściowym zbiorem. To mocno skomplikowane, a użyte słowa są niejasne. Jak to zrozumieć? W wyniku tego „usunięcia” powstają 2 zbiory nieskończone i one są RÓWNOLICZNE, czyli można wyznaczyć jedno-jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy tymi dwoma zbiorami. To oznacza, że…

Każdy element zbioru pierwszego posiada tylko JEDNO przyporządkowanie do elementu zbioru drugiego. Dlatego zbiory są równoliczne, jest tyle samo elementów. Inaczej, jeżeli podzieli się zbiór nieskończony na dwie części, to powstają z tego podziału dwa zbiory nieskończone. Nieskończoność bowiem się nie zmniejsza, bo jest …nieskończona.

Przykładem może być podział nieskończonego zbioru liczb naturalnych na dwa zbiory – liczb parzystych i nieparzystych. Zbiór liczb naturalnych pomniejszony o liczby nieparzyste jest nadal nieskończony i jest równoliczny ze zbiorem odłączonych liczb nieparzystych.

Powstaje dość proste przyporządkowanie elementów dwóch zbiorów. Otóż, przyporządkowujemy poszczególne elementy zbiorów według schematu: 1«2; 2«4; 3«6; 4«8; 5«10, itd. Pierwszy element przyporządkowania to zawsze kolejne liczby naturalne, a drugi element to liczby parzyste. Takie przyporządkowanie ma sekwencję nieskończoną.

Podobne przyporządkowania można uczynić pomiędzy zbiorem liczb naturalnych i wymiernych, zbiorem ułamków. To może dziwić, bo wydaje się intuicyjnie, że ułamków jest więcej niż liczb naturalnych. 

Jeżeli takie przyporządkowanie jest możliwe, to zbiory są równoliczne i posiadają taką samą MOC. Liczba elementów zbioru zwana jest MOCĄ zbioru. Zbiory skończone mają określoną ilościowo liczbę elementów. Zbiory o nieskończonej liczbie elementów są … nieskończone.

Istnieje wiele rodzajów zbiorów nieskończonych, które są PRZELICZALNE, czyli równoliczne. Wszystko byłoby już jakoś łatwe, ale istnieją zbiory NIEPRZELICZALNE. Takim zbiorem nieskończonym nieprzeliczalnym na nieskończony zbiór liczb naturalnych jest zbiór liczb RZECZYWISTYCH. Liczb rzeczywistych jest WIĘCEJ niż naturalnych, a wszystkich liczb jest w zbiorach nieskończenie dużo.

Oznacza to, że nieskończoność jest SKALOWALNA. To niestety umyka intuicji i wydaje się nie do pojęcia. Ale tak to już jest z abstraktem, jest trudno uchwytny trzeba wysiłku.

Liczb rzeczywistych jest dokładnie tyle, ile podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a tych jest nieskończenie wiele. To jakby mnożyć nieskończoność liczb naturalnych przez nieskończoność liczb naturalnych.

Jest przedział liczb rzeczywistych od 0 do 1. Temu przedziałowi liczb rzeczywistych można przyporządkować zawsze liczbę naturalną i wtedy są równoliczne. Ale na takim zbiorze liczb rzeczywistych można dokonać operacji PRZĘKĄTNIKOWEJ i stworzyć nową liczbę rzeczywistą, której nie ma w zbiorze wyjściowym 0-1. Ta sprzeczność dowodzi, że zbiór liczb naturalnych ma mniejszą moc niż rzeczywistych.

Można postawić prowokujące pytanie: czy istnieje jakichś zbiór liczb, którego moc zbioru jest POMIĘDZY mocą zbioru liczb naturalnych i rzeczywistych? Te dwie nieskończoności DOTYKAJĄ SIĘ. Początkowo sądzono, że taki zbiór nie istnieje. Potem  dowiedziono że jest to NIEROZSTRZYGALNE, czyli: udowodniono, że nie można tego udowodnić.

To można próbować intuicyjnie wyjaśniać: Pomiędzy 0 a 1 jest jakby przeskok, a liczby rzeczywiste wypełniają odległość (przestrzeń) pomiędzy liczbami. Zapewniają dzięki temu ciągłość i płynność. Tworzą CONTINUUM.

Ta kwestia tworzy punkt wyjścia dla rozważań fizycznych. Można przejść do fizyki i analizować liczbę możliwych ZDARZEŃ w czasoprzestrzeni. Czy jest ich skończona ilość, czy tyle samo co liczb naturalnych? A może jest ich aż tyle ile liczb rzeczywistych? Tak matematyka – królowa nauk – staje się podstawą innych nauk i całej rzeczywistości Wszechświata. Ale matematyka generuje problem z nieskończonością. W ramach matematyki nieskończoność jest naturalna, ale w ramach fizyki już nie jest, pojawia się problem.

Innym zagadnieniem jest, jak tych spraw, związanych z nieskończonością, uczyć w szkołach.


Zamknij