Matematyka

Od dawna zastanawiano się nad podstawami i źródłem matematyki. Czym jest sama matematyka?

W starożytności można wyróżnić 3 główne podejścia odnoszące się do matematyki i fizyki. Pierwsze, to podejście Platona. On łączył matematykę i fizykę i to w zasadniczy sposób, dość idealistyczny zresztą. Istnieją bowiem MATEMATYCZNE BYTY, a rzeczy poznawane zmysłami, to są jedynie cienie bytów doskonałych i matematycznych.

Arystoteles poważał matematykę, ale nie nadawał jej fundamentalnego znaczenia, a raczej narzędziowe, o ograniczonej stosowalności. Matematyka służyć może jedynie poznaniu świata materialnego. Nie może służyć odkrywaniu Dobra, a to było kluczowe dla Arystotelesa.

Trzeci nurt jest związany z Archimedesem. On, w sposób twórczy wykorzystywał matematykę do budowy modeli przy badaniach różnych urządzeń, które konstruował. Prowadził eksperymenty badawcze i tworzył matematyczne modele dla nich. To podejście jest najbliższe dzisiejszemu łączeniu matematyki i fizyki.

Oparcie fizyki o liczby wzięte z matematyki stało się przełomem w opisywaniu fizycznego świata. Ktoś nawet to nazwał CUDEM i wielkim darem dla ludzkości.

Jest także zasadnicza kwestia i pytanie, czy matematykę się ODKRYWA czy TWORZY? Odkrywać i tworzyć. Dwa czasowniki, które ustawiają się przeciwstawnie. To ontologia i to dość abstrakcyjna. Istnieją „dwie szkoły”. Platońska i idealistyczna przeciwstawiana jest podejściu formalistycznemu. Podobno platonizm matematyczny przeważa wśród samych matematyków. Wedle tego podejścia STRUKTURY matematyczne istnieją obiektywnie, jako takie a-czasowe i nie-fizyczne byty, które trzeba odkrywać. Wcześniej trzeba dotrzeć do nich poprzez wysiłek intelektu i matematyczne rozumowanie.

Wedle platoników matematycznych świat ma charakter matematyczny, to immanentna cecha całego wszechświata. Znamy ją w niewielkiej części i ciągle odkrywamy. Tutaj znowu trzeba wrócić do fizyki, bo to ona opisuje wszechświat posługując się językiem matematyki. Albo można nawet powiedzieć odwrotnie, że matematyka opisuje wszechświat posługując się fizyką. No i pojawia się znany problem, co jest wcześniej? Fizyczny świat, czy matematyczne struktury są pierwotne? Pojawia się nieśmiertelny problem pierwotności jaja czy kury. Trzeba powrócić zatem do ciężkich pytań ontologicznych.

A może nawet idzie jakoś pogodzić to odkrywanie i tworzenie matematyki. Można bowiem uznać, że aby ODKRYĆ obiektywne matematyczne struktury wszechświata należy STWORZYĆ zapis formalny dla matematyki, którą można użyć dla opisania fizycznych bytów wszechświata. Ludzkość stwarza, aby odkrywać! Wielka matematyka jest jednak pierwotna. Trzeba jednak pamiętać, że to jest już hipoteza filozoficzna, a nie naukowy fakt.

Czy matematyka to struktura BEZ TREŚCI? Chodzi tutaj o to, czy matematyka posiada DZIEDZINĘ? Matematyka nie posiada dziedziny. Formaliści tak traktowali matematykę. Uważali, że to tylko ciągi przekształceń. Ważną, pomnikową postacią był David Hilbert. Czegoż on nie dokonał na polu matematyki, ale i także fizyki. To on dołożył mocny wkład matematyczny dla sformułowania równań względności Alberta Einsteina.

Istotą formalizmu jest założenie, że matematyka jest właśnie SYSTEMEM FORMALNYM. Czyli to: język formuł, w zasadzie logiki, posiadającym aksjomaty. Formuła matematyczna jest RÓWNANIEM wyrażającym związek pomiędzy zmiennymi. Aksjomat to zdanie przyjmowane jako prawdziwe, którego się nie dowodzi, bo to tak zwany pewnik. Aksjomat to takie podstawowe twierdzenie, z którego wynikają inne twierdzenia.

Dlaczego w formułach matematyki istnieją równania? To dość trywialne pytanie sąsiadujące z oczywistością. Najczęściej istnienie równań w matematyce przyjmuje się bez zastanowienia. Odpowiedź jest w sumie zaskakująca. Otóż, równania matematyczne są WYRAŻENIEM INFORMACJI w języku matematycznym. Informacje ze świata fizyki można zatem wyrazić w języku matematyki, sformalizowanym przez człowieka. Informacje będą mieć właśnie postać równania.

Ale po co wyrażać informacje ze świata fizyki w języku matematycznym? To kolejne zasadnicze pytanie, które ma prostą odpowiedź. Tworząc takie równania można zadać ważne PYTANIA i uzyskać odpowiedź. W tym pytaniach są bowiem NIEWIADOME, które interesują badacza. Można to porównać jakoś do działania wyszukiwarki internetowej. Wpisuje się w okienko hasło i pojawiają się liczne odpowiedzi. Ale można wpisać złe hasło i nie uzyska się odpowiedzi. Analogicznie, można zbudować złe równanie i także nie uzyska się odpowiedzi.

Formułowanie poprawnych równań, to droga do uzyskiwania cennych odpowiedzi. Tak postępował Albert Einstein. Sformułował równania pola i uzyskał liczne odpowiedzi. Ich ilość i treść zaskoczyła samego Einsteina. Zmieniła także wyobrażenia ludzkości o świecie. On z kolei łączy się z matematyką. A ona staje się użyteczna w odkrywaniu świata i zasad rzeczywistości. I teraz jest już bardzo blisko do hipotezy, że świat ma charakter struktur matematycznych.

Wracając do matematyki i jej formalizmu… Gdy zatem zestawi się formuły i aksjomaty powstaną abstrakcyjne twory matematyczne. Chodzi o TWIERDZENIA matematyczne, które są wyprowadzane w sekwencjach rachunku logicznego zdań z uwzględnieniem aksjomatów. Tak określana jest prawdziwość twierdzeń. Tak też można generować dowolne twierdzenia. To taki mechaniczny proces przekształcania zdań systemu formalnego. Kluczowe dla takiego podejścia było wykazanie NIESPRZECZNOŚCI matematyki.

To wydaje się jednak niewystarczające. To podejście upadło, w sumie za sprawa Kurta Gödla i jego twierdzeń o NIEZUPEŁNOŚCI – systemów formalnych. Okazało się, że w matematyce jest coś więcej niż gra symboli i form bez znaczenia. To nie tylko formuły i aksjomaty, na bazie których powstają twierdzenia. Matematyka opowiada o CZYMŚ, nawet jeżeli jest to opowieść o samej matematyce. Ale zdaje się opowiadać także coś o Wszechświecie, pośrednio, za pomocą fizyki. Gödel to przykład platonika.

Formalizm zbudował jednak METAREGUŁĘ matematyczną, że sama matematyka musi być niesprzeczna. Owszem istnieją jakieś dziwolągi logiczno-matematyczne oparte o intuicje i inne efemerydy. Ale „poważna” matematyka nie może być sprzeczna. Koniec i kropka. Obecnie formalizm zajmuje się budowaniem teorii matematycznych, czyli potwierdził jednak swoją przydatność.

Namysł nad podstawami matematyki prowadzi do FILOZOFII matematyki, a nawet do czystej filozofii. Teoria KATEGORII i teoria MNOGOŚCI, to dyscypliny prawie tkwiące już w filozofii. Obliczenia odnoszące się do zbiorów docierają przecież do zagadki nieskończoności. Również filozoficznie można podejść do relacji i funkcji. Tymi drogami dociera się do ogólnej metody ujmowania teorii matematycznych. Ale to już ostra jazda, w zasadzie egzotyka.

Można do tego odkrywania matematyki podejść zwyczajnie. Istnieje bowiem taka powszechna, szkolna matematyka. To w niej są jakieś znaki, symbole, które są wytworzone na potrzeby rachunków. To taki opis symboliczny, strukturalizm dla tego, co zostało odkryte. Można nawet wyobrazić sobie inny strukturalizm, język formalny dla odkrytej rzeczywistości matematycznej. Prowokacyjnie, można pomyśleć, że przedstawiciele innej, pozaziemskiej cywilizacji mogą mieć inny zapis formalny dla tych samych zjawisk fizycznych. Oczywiście, jeżeli są cywilizacją co najmniej tak rozwiniętą, jak ta ziemska.

Znane są również podejścia do podstaw matematyki pochodzące od Immanuela Kanta i od Johna S. Milla. One wpisują się w nurt platoński.

Wedle Kanta matematyka jest formą ZMYSŁOWOŚCI – przestrzeni i czasu. To jest dziedzina matematyki. J.S.Mill uważał, że matematyka ma charakter SYNTETYCZNY – ma składowe. Dziedziną matematyki są bowiem dane empiryczne dostępne we wszystkich naukach empirycznych. To dwa inne założenia odnośnie dziedziny matematyki wobec podejścia formalistów.

Nurt platoński zakłada obiektywne istnienie OBIEKTÓW matematycznych. Te można poznawać dzięki wiedzy apriorycznej odnoszącej się do świata abstraktów. Dziedziną matematyki są właśnie owe abstrakty odnoszone do obiektów matematycznych. Obiektami matematycznymi są między innymi: liczby, punkt, zbiory, prosta, funkcje, relacje, odcinek, figury, permutacje, macierze, przestrzenie, płaszczyzna, topologie, rozmaitość, grupy, pierścienie, itd.

Matematyka posiada dziedzinę, a są nią abstrakty. To także przedmiot badań ontologicznych. Trwa także spór o to jak rozumieć matematykę w ramach trzech prób wyjaśnień. Realiści i logicyści zakładają istnienie matematycznych BYTÓW abstrakcyjnych. Konceptualiści i intuicjoniści, że to wszystko są KONSTRUKCJE stworzone przez człowieka. Formaliści twierdzą, że to ciągi PRZEKSZTAŁCEŃ podobne do gry.

Logicyzm ma wiele wspólnego z formalizmem, ale są także różnice. Różnica pomiędzy logicyzmem a formalizmem polega na tym, że logicyzm nie wypowiada się na temat znaczenia pojęć pozalogicznych używanych do konstrukcji matematyki. Chociaż Gottlob Frege i Bertrand Russel założyli istnienie abstraktów w matematyce. Formaliści, a w zasadzie nominaliści, odwoływali się do fizyki, jako najprostszego rozwiązania opartego o empiryczne fakty. Nie może być nic więcej. Są formuły, aksjomaty, twierdzenia, są także empiryczne dane, to można wykorzystać w fizyce wykorzystującą matematykę. Na tym trzeba poprzestać.  

Przełomu dokonał wspomniany wcześniej Kurt Gödel. Zajmował się podstawami matematyki. Warto jeszcze powrócić do jego twierdzeń o niezupełności. Aby je wyprowadzić, przyporządkował różnym kształtom zdań - liczby. Wynikanie – jako RELACJA pomiędzy zdaniami - miało postać operacji arytmetycznych.

Gödel odkrył kluczowe prawo, które obaliło logicyzm. Otóż, w danym systemie formalnym zbiór zdań dających się wyprowadzić z aksjomatów nie pokrywa się z ilością zdań prawdziwych, ostatnich będzie więcej. DOWODLIWOŚĆ jest zawsze słabsza od PRAWDZIWOŚCI. Matematyki nie można sprowadzić do logiki i nie jest nauką zamkniętą.

Systemy formalne spełniające pewne założenia zawsze muszą być albo ZUPEŁNE albo NIESPRZECZNE i nigdy nie posiadają obu tych własności jednocześnie. To stało się przełomem. Logicyzm i formalizm matematyczny nie mogły się temu oprzeć.

Należy to mocno podkreślić: matematyka NIE JEST nauką zamkniętą. Lapidarnie, trzeba wybrać, że albo matematykę uważamy za: (1) Zupełną i sprzeczną, albo (2) Niezupełną i niesprzeczną. To drugie rozwiązanie jest właściwe. Bo jakże zakładać, że matematyka jest sprzeczna? Ona nie może być sprzeczna.

Istnieją teorie, a w zasadzie hipotezy, które tłumaczą istniejący Wszechświat jako zbiór wszystkich możliwych struktur matematycznych. Jedną z tych struktur jest nasz obecny wszechświat.

Struktury matematyczne istnieją OBIEKTYWNIE, niezależnie od człowieka. Matematyka człowieka obrała swój formalizm - sposób zapisu. Obiekty jednak mają relację miedzy sobą niezależnie od zapisu formalnego, bo istnieją obiektywnie. To teoria zbudowana na bazie strukturalizmu.

Spór o podstawy matematyki trwa, ale rozwój matematyki przebiega nadal, jakby zgodnie z apriorycznym modelem odkrywania prawd matematycznych. Odkryte prawdy są od siebie uzależnione, kolejne wynikają z poprzednich prawd.

Sposoby istnienia zakładają istnienie KONKRETÓW, ale także pojęć ogólnych. Tak mocno utrzymuje ontologia. Jeżeli zatem istnieją pojęcia ogólne, to istnieją również obiekty matematyczne: liczby, funkcje…

Istnieją zatem obiekty matematyczne. Można iść dalej i zgodzić się, że formuły i aksjomaty to także „konkretne” byty. A nawet twierdzenia to byty. Ale czy dowody matematyczne są bytami? One „tylko” potwierdzają prawdziwość twierdzeń. Reguła konsekwencji podpowiada, że dowód matematyczny to byt! Ziemia i Słońce to byt. Dowód matematyczny to także byt. To mocno konstytuuje MATEMATYKĘ.

Matematyka to poważna sprawa! Ona z pewnością jest czymś więcej niż matematyka zadań maturalnych.