wczytywanie strony...
Instytut Karpacki Baner Innowacyjna edukacja

Matematyka

Od dawna zastanawiano się nad podstawami i źródłem matematyki. Znane są trzy podejścia do podstaw matematyki. Pochodzą od Immanuela Kanta, od Johna S. Milla i od formalistów – Russel, Whitehead. 

Wedle Kanta matematyka jest formą zmysłowości – przestrzeni i czasu. J.S.Mill uważał, że matematyka ma charakter syntetyczny – ma składowe. Dziedziną matematyki są bowiem dane empiryczne dostępne we wszystkich naukach empirycznych. Formaliści twierdzili, że matematyka nie ma żadnej dziedziny. To tylko ciąg przekształceń pokrewny logice.

Nurt platoński zakłada obiektywne istnienie OBIEKTÓW matematycznych. Te można poznawać dzięki wiedzy apriorycznej odnoszącej się do świata abstraktów. Dziedziną matematyki są właśnie owe abstrakty odnoszone do obiektów matematycznych.

Obiektami matematycznymi są między innymi: liczby, punkt, zbiory, prosta, funkcje, relacje, odcinek, figury, permutacje, macierze, przestrzenie, płaszczyzna, topologie, rozmaitość, grupy, pierścienie, itd.

Matematyka posiada dziedzinę, a są nią abstrakty. To także przedmiot badań ontologicznych. Trwa także spór o to jak rozumieć matematykę w ramach trzech prób wyjaśnień. Realiści i logicyści zakładają istnienie matematycznych BYTÓW abstrakcyjnych. Konceptualiści i intuicjoniści, że to wszystko są KONSTRUKCJE stworzone przez człowieka. Formaliści twierdzą, że to ciągi PRZEKSZTAŁCEŃ podobne do gry.

Logicyzm ma wiele wspólnego z formalizmem, ale są także różnice. Różnica pomiędzy logicyzmem a formalizmem polega na tym, że logicyzm nie wypowiada się na temat znaczenia pojęć pozalogicznych używanych do konstrukcji matematyki. Chociaż Frege Russel założył istnienie abstraktów w matematyce. Formaliści, a w zasadzie nominaliści, odwoływali się do fizyki, jako najprostszego rozwiązania opartego o empiryczne fakty.

Przełomu dokonał niejaki Kurt Gödel. Zajmował się podstawami matematyki. Przyporządkował różnym kształtom zdań - liczby. Wynikanie – jako RELACJA pomiędzy zdaniami - miało postać operacji arytmetycznych.

Gödel odkrył kluczowe prawo, które obaliło logicyzm. Otóż, w danym systemie formalnym zbiór zdań dających się wyprowadzić z aksjomatów nie pokrywa się z ilością zdań prawdziwych, ostatnich będzie więcej. DOWODLIWOŚĆ jest zawsze słabsza od PRAWDZIWOŚCI. Matematyki nie można sprowadzić do logiki i nie jest nauką zamkniętą.

Systemy formalne spełniające pewne założenia zawsze muszą być albo ZUPEŁNE albo NIESPRZECZNE i nigdy nie posiadają obu tych własności jednocześnie.

Należy to mocno podkreślić: matematyka NIE JEST nauką zamkniętą. Lapidarnie, trzeba wybrać, że albo matematykę uważamy za: (1) Zupełną i sprzeczną, albo (2) Niezupełną i niesprzeczną. To drugie rozwiązanie jest intuicyjnie bliższe. Bo jakże zakładać, że matematyka jest sprzeczna?

Istnieją teorie, a w zasadzie hipotezy, które tłumaczą istniejący Wszechświat jako zbiór wszystkich możliwych struktur matematycznych. Jedną z tych struktur jest nasz obecny wszechświat.

Struktury matematyczne istnieją OBIEKTYWNIE, niezależnie od człowieka. Matematyka człowieka obrała swój formalizm - sposób zapisu. Obiekty jednak mają relację miedzy sobą niezależnie od zapisu formalnego, bo istnieją obiektywnie. To teoria zbudowana na bazie strukturalizmu.

Spór o podstawy matematyki trwa, ale rozwój matematyki przebiega nadal, jakby zgodnie z apriorycznym modelem odkrywania prawd matematycznych. Odkryte prawdy są od siebie uzależnione, kolejne wynikają z poprzednich prawd.

Sposoby Istnienia zakładają istnienie KONKRETÓW, ale także pojęć ogólnych. Istnieją zatem obiekty matematyczne: liczby, funkcje… Istnieją także DOWODY matematyczne. Dowód matematyczny jako byt! To mocno konstytuuje MATEMATYKĘ.


Zamknij